Números místicos y un video de Vsauce

Recientemente, el popular canal de YouTube Vsauce publicó un video (Fixed Points, a partir del minuto 12:32) donde se describe el siguiente fenómeno:

Piensa en cualquier número. Escríbelo en inglés con letras, y cuenta cuántas letras hay. Repite el proceso para el número que obtuviste al contar las letras. Después de varias repeticiones del proceso, inevitablemente e independientemente del número inicial, llegarás al número 4.

Veamos algunos ejemplos.

  1. Empecemos con 11. Escribimos “ELEVEN”, el cual tiene 6 letras. Escribimos “SIX”, el cual tiene 3 letras. Escribimos “THREE”, el cual tiene 5 letras. Escribimos “FIVE”, el cual tiene 4 letras.
  2. Probemos con 25. Escribimos “TWENTY-FIVE”, el cual tiene 10 letras. Escribimos “TEN”, el cual tiene 3 letras. Escribimos “THREE”, el cual tiene 5 letras. Escribimos “FIVE”, el cual tiene 4 letras.
  3.   Probemos ahora con 798. Escribimos “SEVEN HUNDRED AND NINETY-EIGHT”, el cual tiene 26 letras. Escribimos “TWENTY-SIX”, el cual tiene 9 letras. Escribimos “NINE”, el cual tiene 4 letras.

¡Intenta algunos ejemplos por ti mismo!

Probablemente, algún grupo esotérico ha usado este fenómeno para atribuirle alguna importancia mística al número 4. Al igual que en el video de Vsauce, nosotros lo analizaremos con matemáticas, usando el concepto al que hace referencia el nombre de este blog.

El concepto de “idempotencia” surge en el contexto de las operaciones matemáticas, las cuales son funciones con uno o más valores de entrada que producen un valor de salida (el cual debe ser del mismo tipo que los valores de entrada). Aquí algunos ejemplos importantes de operaciones binarias (que toman dos valores de entrada):

  1. La suma, la resta y la multiplicación de números.
  2. La suma y multiplicación de matrices.
  3. La composición de funciones.
  4. La unión y la intersección de conjuntos.
  5. Las operaciones lógicas “y”, “o” y  “no”.

La palabra “idempotencia” viene del latín y significa “misma potencia”.

Definición de idempotente: Sea ★ una operación binaria definida en una clase de objetos matemáticos X (ej. números, matrices, funciones, etc). Un elemento x de X es idempotente con respecto a ★ si

x★ x = x.

Representamos como xn al elemento x operado consigo mismo n veces. Entonces, si x es idempotente, deducimos que xn = x (el logo de este blog), para cualquier número n > 0.

Veamos algunos ejemplos de elementos idempotentes con respecto a distintas operaciones.

  1. El único número idempotente con respecto a la suma es 0 (porque 0+0=0).
  2. Los únicos números idempotentes con respecto a la multiplicación son 0 y 1 (porque 0×0=0 y 1×1=1).
  3. Toda función constante es idempotente con respecto a la composición de funciones.
  4. Todos los conjuntos son idempotentes con respecto a la unión y la intersección (porque AA=A y A∩A=A).

La noción de idempotencia tiene una gran importancia en álgebra abstracta y ciencias computacionales, porque nos ayuda a identificar elementos que tienen un comportamiento especial respecto a una operación.

Ahora regresemos al fenómeno presentado por Vsauce. Consideremos una operación unaria (que tiene una sola entrada) definida sobre números, la cual denotaremos por el símbolo ★. Ésta es la regla que define a la operación:

★(n) = Número de letras que hay al escribir n en inglés.

Por ejemplo,

★(1) = Número de letras en “ONE” = 3,

★(4) = Número de letras en “FOUR” = 4,

★(12) = Número de letras en “TWELVE” = 6.

 Después de pensar un poco en esta operación, nos damos cuenta que 4 es idempotente

★…★ (4) = ★(4) = 4,

y que además es el único idempotente con respecto a .

Los idempotentes con respecto a operaciones unarias también son llamados puntos fijos. Que 4 es el número al que se llega inevitablemente después de hacer la operación varias veces está íntimamente relacionado con el hecho de que 4 es un idempotente/punto fijo. Una explicación de este fenómeno (tomada de este video) es la siguiente:

Cualquier número N mayor o igual que 5 tiene menos de N letras al escribirlo en inglés. Esto implica que hacer la operación siempre nos llevará a números pequeños (menores o iguales que 4). Por lo tanto, sólo es necesario analizar el comportamiento de en estos números pequeños. En el siguiente diagrama, dibujamos una flecha del número n al número m si ★(n) = m. 

english

Como vemos, el diagrama siempre nos lleva al número 4.

El fenómeno de siempre llegar al 4 no funciona en español. Consideremos la operación

☆(n) = Número de letras que hay al escribir n en español.

En este caso, 5 es el único idempotente de la operación,

☆(5) = Número de letras en “CINCO” = 5,

así que sería razonable pensar que al repetir la operación ☆ varias veces siempre llegaremos al 5. Sin embargo, el diagrama que describe el comportamiento de ☆ para números pequeños es el siguiente:

spanish

Como podemos ver, este diagrama no nos lleva al 5, ni al 4, sino que hay un ciclo infinito que oscila entre los números 4 y 6.

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México y las Olimpliadas Internacionales de Matemáticas

La Olimpiada Internacional de Matemáticas (conocida como la IMO, por sus siglas en inglés) es la competencia preuniversitaria de matemáticas más importante y prestigiosa del mundo. Organizada anualmente desde 1959, el evento reúne estudiantes de secundaria y preparatoria para resolver un examen de seis preguntas que incluyen temas de geometría, álgebra, combinatoria y teoría de números. En años recientes, más de 100 países envían equipos de hasta 6 estudiantes. Dependiendo de su desempeño en el examen, cada estudiante puede obtener una medalla de bronce, plata u oro. En cada evento, aproximadamente el 30% de los participantes recibe una medalla de bronce, el 20% una de plata, y el 10% una de oro. Un estudiante obtiene mención honorífica si no obtuvo medalla pero resolvió completamente al menos uno de los seis problemas.

Los problemas a resolver en el examen son generalmente fáciles de entender pero difíciles de resolver. Por ejemplo, el siguiente problema fue tomado de la olimpiada de Tailandia 2015:

Problema 2. Determinar todas las ternas \mathbf{(a,b,c)} de enteros positivos tales que cada uno de los números

\mathbf{ab-c, \ bc - a, \ ca - b}

es una potencia de \mathbf{2}.

(Una potencia de \mathbf{2} es un entero de la forma \mathbf{2^n}, donde \mathbf{n} es un entero no negativo.)

Muchos de los estudiantes que han tenido participaciones excepcionales en la IMO se han convertido en grandes matemáticos. Por ejemplo, Terrance Tao, ganador del la Medalla Fields en 2006 y el Premio Breakthrough en 2014, mantiene el récord como el participante más joven en obtener una medalla de oro (lo hizo a los 13 años). De entre los participantes que han ganado tres medallas de oro, Lászlo Lovász ganó también los premios Wolf, Knuth y Kyoto, Simon Norton hizo importantes contribuciones a la teoría de grupos finitos, y Nikolay Nikolov (quien fue mi maestro de Teoría de Grupos en 2009 en el Imperial College London) ganó el premio Whitehead. En total, hay 14 matemáticos que han ganado al menos una medalla en la IMO y la medalla Fields. Sin embargo, tampoco es un requisito indispensable haber tenido una participación excepcional en la IMO para convertirse en un matemático exitoso: muchos grandes matemáticos nunca participaron, y otros participaron con un mal desempeño (como el medallista Fields Pierre-Louis Lions en 1973).

La entrada de este blog surgió con el pretexto de la reciente noticia sobre la participación del equipo mexicano en la IMO 2016. La Jornada comunicó la noticia puntualmente aquí. Por otro lado, Animal Político y Excélsior difundieron la noticia (aquí y acá, respectivamente) con algunas imprecisiones. Por ejemplo, Animal Político mencionó que Olga Medrano (quien se hizo famosa hace unos meses como la Lady Matemáticas por haber ganado una medalla de oro en la Olimpiada Europea Femenil de Matemáticas) es “la primera chica mexicana en participar en las Olimpiadas Internacionales de Matemáticas”; de hecho, la siguiente es la lista de las chicas mexicanas que han participado hasta ahora:

México ha participado en la IMO desde 1981, y su mejor desempeño fue en Colombia 2013, donde quedó en el lugar 17 de 97 países. Hasta hoy, sólo tres mexicanos han obtenido una medalla de oro:

En total, México ha obtenido 23 medallas de plata y 55 de bronce. El salón de la fama completo de los estudiantes mexicanos puede consultarse aquí

Afortunadamente, a pesar de las imprecisiones difundidas por los medios de comunicación, es fácil acceder a la información sobre las participaciones de México en la IMO debido a la base de datos que mantiene el sitio web oficial. Es de reconocer que los organizadores de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas también tienen en su sitio web una excelente sección de historia en la que recopilan los resultados de México en distintas competencias de matemáticas. Me gustaría mucho ver que este tipo de secciones fuera cada vez más común en sitios de otros eventos académicos mexicanos, tales como el Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana, del cual parece muy difícil encontrar información histórica. Esta falta de información sobre eventos académicos pasados en México contrasta con lo que sucede en otros países como el Reino Unido, donde incluso pequeños congresos como el Postgraduate Group Theory Conference (que sólo reúne alrededor de 50 participantes cada año) tienen un registro histórico detallado.

Sobre el número de investigadores en México

En los últimos años se ha hablado bastante sobre un tema que afecta a varios países desarrollados: hay demasiados graduados de doctorado y no hay suficientes trabajos para ellos. Por ejemplo, esta nota publicada en Times Higher Education y esta otra publicada en Science comentan los casos de Europa y Estados Unidos, respectivamente. El problema se ha debatido frecuentemente en redes sociales en México, e incluso algunas veces se ha asumido (sin mayor análisis) como un problema mexicano.

Recuerdo la preocupación de algunos jóvenes mexicanos al compartir la carta Don’t Become a Scientist del profesor de física Jonathan I. Katz de la Universidad de Washington. Algunos de sus argumentos son los siguientes:

Do something else instead: medical school, law school, computers or engineering, or something else which appeals to you. […] American science no longer offers a reasonable career path. […] American universities train roughly twice as many Ph.D.s as there are jobs for them. […] If you are in a position of leadership in science then you should try to persuade the funding agencies to train fewer Ph.D.s.

La traducción al español es la siguiente:

Haz alguna otra cosa: escuela de medicina, escuela de leyes, computadoras o ingeniería, o alguna otra cosa que te interese. […] La ciencia en Estados Unidos ya no ofrece una carrera razonable. […] Las universidades de Estados Unidos preparan aproximadamente el doble de doctorandos que número de trabajos que hay para ellos. […] Si tú estás en una posición de liderazgo en la ciencia entonces debes intentar persuadir a las agencias de financiamiento de preparar a menos doctorandos.

Como era de esperarse, la carta, publicada hace más de 15 años, despertó un debate interesante: aquí y acá algunos textos relacionados. Sin embargo, el traslado de este problema a la situación Mexicana está fuera de lugar por una sencilla razón: México no es ni Estados Unidos ni Europa, y no hay, ni de cerca, demasiados graduados de doctorado. Probablemente las universidades de países desarrollados no necesitan más investigadores, tienen demasiados, pero la mayoría de las universidades en México definitivamente los necesitan.

De acuerdo a estadísticas de la OECD, en 2011 el porcentaje de graduados de doctorado con respecto a un grupo de edad es de 3.4% en Suiza, 2.1% en Reino Unido, y 1.6% en Estados Unidos. El promedio de la OECD es de 1.5%. Por otro lado, México se encuentra al final de la tabla, sólo por encima de Chile e Indonesia, con un 0.2%. Estas estadísticas pueden consultarse aquí.

El mismo Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología reconoció que México sólo cuenta con 0.7 investigadores por cada 100 mil habitantes, mientras que países como España, Corea del Sur y Estados Unidos, cuentan con 4, 6 y 14, respectivamente. En 2011, la Subsecretaría de Educación Superior de México expresó su preocupación por el déficit de graduados de doctorado en México; por si fuera poco, “sólo uno de cada seis alumnos de posgrado cursa sus estudios en algún plan reconocido por el Programa Nacional de Posgrados de Calidad.”

Esta situación de déficit de investigadores, que también se presenta en casi todos los países latinoamericanos, fue recientemente analizada en el artículo Your PhD oversupply crisis is our opportunity de Iván Pacheco publicado en University World News. El autor hace una propuesta muy interesante: los problemas de sobreproducción de graduados de doctorado en países desarrollados y de deficiencia de éstos en países latinoamericanos pueden resolverse conjuntamente.

Overproduction of PhDs and deteriorating working conditions for faculty, particularly for adjuncts, in industrialised countries may represent an opportunity for the developing world. […] In contrast to the surplus of people with doctoral degrees in the United States, Spain and other industrialised countries, most developing countries have the opposite problem: the number of scholars and scientists with doctoral degrees is very low compared to the countries’ needs. […] Confining recruitment efforts to their own nationals can be a mistake for countries with low numbers of PhDs, as there is a growing stock of highly skilled researchers and professors willing to cross borders in the quest for a reasonably good working opportunity.

La traducción al español es la siguiente:

La sobreproducción de doctores y las condiciones en deterioro de los académicos, particularmente de los temporales, en países industrializados puede representar una oportunidad para los países en desarrollo. […] En contraste con el superávit de personas con grados de doctor en Estados Unidos, España y otros países industrializados, la mayoría de los países en desarrollo tienen el problema opuesto: el número de académicos y científicos con grado de doctor es muy bajo comparado con las necesidades del país. […] Confinar los esfuerzos de reclutamiento a sus propios nacionales puede ser un error para los países con bajos números de doctores, ya que hay una creciente reserva de investigadores altamente calificados y profesores dispuestos a cruzar las fronteras por la búsqueda de una oportunidad de trabajo razonablemente buena.

 

El problema del déficit de investigadores en México es un problema complejo y su solución deberá involucrar acciones del gobierno y la sociedad académica en general. Algunos puntos que considero que podrían ayudar mejorar la situación son los siguientes:

  1. Concienciar a los jóvenes de que el problema de la sobreproducción de investigadores no es un problema de países latinoamericanos: México necesita más graduados de doctorado.
  2. Impulsar los programas de doctorado de calidad, y advertir sobre los programas “patito.”
  3. Aumentar el número de plazas de investigador (sobre todo en universidades que urgentemente las necesitan), y mejorar las condiciones en las que trabajan los investigadores.
  4. Promover el impacto que personas altamente calificadas pueden tener en la industria en México.
  5. Seguir la propuesta de Iván Pacheco: fortalecer el reclutamiento de investigadores de alto nivel extranjeros.

Cualquier propuesta para aumentar estos puntos es bienvenida en los comentarios.

 

Sobre los autómatas celulares

Los autómatas celulares son modelos matemáticos que han tenido gran relevancia en numerosas áreas de la ciencia. Se tratan de modelos discretos en el sentido de que el espacio donde existen no varía continuamente: sus componentes están separados y son distintos entre sí. Su objetivo principal es capturar las propiedades fundamentales de algunos fenómenos del mundo físico: sus interacciones son locales y homogéneas en todo el espacio.

Inicialmente, los autómatas celulares fueron estudiados por John von Neumann, uno de los padres de las computadoras digitales, en un intento por diseñar sistemas artificiales autorreplicables. La idea de von Neumann estuvo motivada por el propósito de construir robots que pudieran copiarse a sí mismos.

Informalmente, la definición matemática de autómata celular es la siguiente.

Supongamos que G es una cuadrícula infinita en n dimensiones y que A es un conjunto de colores, o estados. A cada elemento de la cuadrícula lo llamamos una célula. Una configuración sobre G y A es una coloración de usando los colores de A. Por ejemplo, una configuración sobre la cuadrícula bidimensional y A = {rojo, verde, azul} es:

infinite grid colored 1

Una vez que fijamos la cuadrícula G y el conjunto A de colores/estados, denotamos como AG al conjunto de todas las configuraciones posibles sobre G y A. Un autómata celular es una función F : AG → AG  que satisface la siguiente propiedad:

⋆ Para cualquier configuración c, el color de cualquier célula en F(c) está establecido por una regla fija que sólo depende de los colores de una vecindad finita de la célula.

Esta propiedad es la que determina el comportamiento local y homogéneo de los autómatas celulares.

Algunos de los ejemplos más importantes de autómatas celulares son la Regla 110 y el Juego de la Vida de John H. Conway (explicado en este video en español por Eduardo Sáenz de Cabezón, y en este otro en inglés por el mismo Conway).

Los autómatas celulares tienen muchas conexiones interesantes con otras áreas de la ciencia. Aquí una lista de cinco de estas conexiones:


1. Sistemas dinámicos: los autómatas celulares han sido extensamente investigados como sistemas dinámicos discretos, donde el sistema evoluciona al iterar la función F : AG → AG. Por ejemplo, la siguiente animación ilustra la evolución de una configuración al iterar el Juego de la Vida:

Game_of_life_pulsar

Los puntos fijos, la periodicidad y la estabilidad de estas órbitas han sido temas centrales en estas investigaciones.


2. Física digital: algunos científicos han propuesto que las leyes físicas del universo podrían comportarse como un autómata celular. Esto podría resultar razonable en un modelo discreto del universo, ya que se cree que las mismas leyes físicas se aplican en cualquier punto del universo (excepto en las singularidades de los agujeros negros) y que estas leyes sólo dependen de una vecindad finita del punto. En esta plática de Ted, Stephen Wolfram habla sobre su exploración del universo computacional de los autómatas con la esperanza de encontrar un modelo del universo físico.


3. Teoría de la computación: algunos autómatas celulares, como la Regla 110 y el Juego de la Vida, pueden simular cualquier máquina de Turing. De acuerdo con la tesis de Church-Turing, esto significa que estos autómatas celulares tienen la capacidad de hacer los mismos cálculos que cualquier computadora programable. Este video muestra cómo es posible implementar una máquina de Turing universal usando el Juego de la Vida.


4. Teoría de grupos: la cuadrícula G de un autómata celular puede reemplazarse por cualquier grupo; esto es, por cualquier conjunto equipado con una operación binaria asociativa, con identidad y con inversos. Esta generalización proporciona conexiones muy interesantes entre la teoría de autómatas celulares y la teoría de grupos. Por ejemplo, existe una caracterización en términos de autómatas celulares de los grupos amenables, los cuales, coincidentemente, también fueron definidos por John von Neumann pero en un contexto totalmente diferente: surgieron en el estudio de descomposiciones paradójicas de grupos, al estilo del Teorema de Banach-Tarski.


5. Biología y química: los autómatas celulares pueden simular diversos procesos biológicos y químicos que involucran interacciones entre neuronas, células y moléculas. Un ejemplo famoso es el de las configuraciones producidas por la Regla 30, descubierta por Stephen Wolfram, ya que son muy similares a los patrones encontrados en las conchas de algunos caracoles.


3er Foro de Laureados en Heidelberg

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La semana pasada tuve la fortuna de participar en el 3er Foro de Laureados en Heidelberg, organizado en la Universidad de Heidelberg, Alemania. La idea de este foro, inspirado en el famoso Encuentro de Premios Nobel en Lindau, es que 200 jóvenes investigadores convivan y conversen con algunos académicos galardonados con los premios más prestigiosos en matemáticas y ciencias computacionales: el Premio Turing, la Medalla Fields y el Premio Abel.

Los laureados que participaron en el foro al que yo asistí fueron:

  • 17 con el Premio Turing:
    1. Leslie Lamport (2013), galardonado “por sus contribuciones fundamentales a la teoría y práctica de sistemas distribuidos y concurrentes.”
    2. Leslie G. Valiant (2010), galardonado “por sus contribuciones transformadoras a la teoría de la computación, incluyendo […] la teoría de la computación paralela y distribuida.”
    3. Edmund Melson Clarke (2007), galardonado “por su papel en el desarrollo de la verificación formal para convertirla en una técnica de verificación tecnológica altamente efectiva que ha sido ampliamente adoptada en las industrias de software y hardware.”
    4. Peter Naur (2005), galardonado “por sus contribuciones fundamentales al diseño de lenguajes de programación y la definición de Algol 60.
    5. Vinton Gray Cerf (2004), galardonado “por su trabajo pionero en el desarrollo del Internet, incluyendo el diseño e implementación de los protocolos básicos de comunicación, TCP/IP, y por su inspirado liderazgo en redes.”
    6. Leonard Max Adleman (2002), galardonado “por la implementación práctica de la encriptación de llave pública” (ej. el código RSA).
    7. Andrew C. Yao (2000), galardonado “en reconocimiento por sus contribuciones fundamentales a la teoría de la computación.”
    8. Frederick Brooks (1999), galardonado “por sus contribuciones clave a la arquitectura de computadoras, sistemas operativos e ingeniería de software.”
    9. Manuel Blum (1995), galardonado “en reconocimiento por sus contribuciones a los fundamentos de la teoría de la complejidad computacional y sus aplicaciones en criptografía y verificación formal.”
    10. Richard Edwin Stearns (1993), galardonado “en reconocimiento por su artículo pionero en el cual estableció los fundamentos de la teoría de la complejidad computacional.”
    11. Butler W. Lampson (1992), galardonado “por sus contribuciones al desarrollo de ambientes computacionales distribuidos y personales, y por la tecnología de su implementación.”
    12. Ivan Sutherland (1988), galardonado “por sus contribuciones pioneras y visionarias a los gráficos por computadora.”
    13. Robert Endre Tarjan y John E. Hopcroft (1986), galardonados “por sus logros fundamentales en el diseño y análisis de algoritmos y estructuras de datos.”
    14. Richard Manning Karp (1985), galardonado “por sus contribuciones continuas a la teoría de algoritmos, […] notablemente, sus contribuciones a la teoría de NP-completitud.”
    15. Stephen A. Cook (1982), galardonado “por su profunda y significativa contribución a nuestro entendimiento de la complejidad computacional.”
    16. Sir Antony R. Hoare (1980), galardonado “por sus logros fundamentales en la definición y el desarrollo de la programación.”
  • 4 con la Medalla Fields:
    1. Andrei Okounkov (2006), galardonado “por sus contribuciones que conectan la probabilidad, la teoría de representaciones y la geometría algebraica.”
    2. Vladimir Voevodsky (2002), galardonado “especialmente por su trabajo en cohomología motívica, la teoría homotópica de variedades algebraicas y su demostración de la conjetura de Milnor.”
    3. Efim Zelmanov (1994), galardonado “por su trabajo en álgebra abstracta y teoría de grupos, en particular por la solución del problema de Burnside restringido.”
    4. Shigefumi Mori (1990), galardonado “por la demostración de la conjetura de Hartshorne y su trabajo en la clasificación de variedades algebraicas tridimensionales.”
  • 4 con el Premio Abel:
    1. Louis Nirenberg (2015), galardonado “por sus contribuciones pioneras a la teoría de ecuaciones diferenciales parciales no lineales y sus aplicaciones al análisis geométrico.”
    2. Endre Szemerédi (2012), galardonado “por sus contribuciones fundamentales en matemáticas discretas y ciencias computacionales teóricas, y en reconocimiento por el impacto profundo y duradero de esas contribuciones a la teoría aditiva de números y la teoría ergódica.”
    3. John Torrence Tate (2010), galardonado “por su impacto vasto y duradero a la teoría de números.”
    4. Srinivasa S. R. Varadhan (2007), galardonado “por sus contribuciones fundamentales a la teoría de la probabilidad y, en particular, por crear una teoría unificada de grandes desviaciones.”
  • 1 con la Medalla Fields y el Premio Abel:
    1. Sir Michael Francis Atiyah (1966/2004), galardonado “particularmente por su trabajo en topología algebraica, incluyendo la demostración del teorema del índice de Atiyah-Singer.”

Además de poder escuchar algunas conferencias brillantes impartidas por los laureados, este foro es una excelente oportunidad para conocer a otros jóvenes investigadores de todo el mundo, aprender sobre nuevas áreas de investigación y descubrir una hermosa ciudad. No deja de sorprenderme la sencillez y el genuino interés de los laureados hacia los proyectos de los jóvenes investigadores; siempre estuvieron dispuestos a preguntar y escuchar. Los organizadores del evento hicieron un trabajo impecable: se nota claramente su entusiasmo y su gran esfuerzo para hacer de este foro una experiencia memorable.

El próximo Foro de Laureados en Heidelberg será del 18 al 23 de septiembre de 2016. Pueden hacer solicitud para participar matemáticos o científicos de la computación en cualquier nivel desde licenciatura hasta postdoctorado.

Sobre los argumentos falaces

Una falacia es un razonamiento defectuoso, o inválido, en la construcción de un argumento. Es importante señalar que, cuando se califica a un argumento como falaz, no significa que la conclusión del argumento sea falsa: lo que se califica como defectuoso o inválido es la cadena de razonamientos mediante la cual se llegó a tal conclusión. Wikipedia tiene una lista interesante que divide a las falacias en dos tipos: formales e informales.

Las falacias formales pueden detectarse analizando la estructura del argumento, sin necesidad de prestar atención en el contenido. Algunos ejemplos son los siguientes:


  1. Falacia del inverso – consiste en negar el antecedente de una proposición condicional y concluir la negación del consecuente. Ejemplo: “si eres mexicano, entonces eres mortal. No soy mexicano. Por lo tanto, no soy mortal.”

  2. Falacia del converso – consiste en afirmar el consecuente de una proposición condicional y concluir el antecedente. Ejemplo: “si eres mexicano, entonces eres mortal. Soy mortal. Por lo tanto, soy mexicano.”

  3. Doble falacia – consiste en calificar como falsa la conclusión de un argumento basándose solamente en que contiene una falacia. Ejemplo: “El razonamiento del ejemplo anterior es una falacia. Por lo tanto, no soy mexicano.”

Las falacias informales no pueden ser detectadas analizando la estructura del argumento así que es necesario analizar su contenido. Aquí una lista de ejemplos que considero interesantes:


  1. Generalización apresurada – consiste en generalizar un fenómeno basándose en evidencia insuficiente. Un ejemplo típico es generalizar que algo es verdadero siempre o casi siempre porque es verdadero en uno o unos cuantos casos. Ejemplo (de Donald Trump): “la mayoría de los mexicanos en Estados Unidos son criminales.”

  2. Falacia por ignorancia – consiste en argumentar que algo es verdadero porque no se ha demostrado que es falso, o viceversa. Ejemplo: “Nadie ha podido demostrar como verdadera la Conjetura de Goldbach. Por lo tanto, debe ser falsa.”

  3. Falacia por moderación – consiste en argumentar que algo es verdadero, o mejor, solamente por encontrarse en un punto intermedio entre dos posturas opuestas. Ejemplo: “Yo quiero ir al norte, tú al sur. Lo mejor será que vayamos al este.”

  4. Falso dilema – consiste en considerar un número limitado de alternativas en una situación en la que existe al menos una alternativa adicional. Ejemplo: “Si no estás con nosotros, estás en contra de nosotros.”

  5. Falacia de autoridad – consiste en argumentar que algo es verdadero porque una supuesta figura de autoridad así lo afirma. Ejemplo: “El Secretario de Hacienda dice que el país crecerá un 5%. Por lo tanto, debe ser cierto.”

  6. Falacia de tradición – consiste en argumentar que algo es verdadero, o mejor, solamente por estar relacionado con las tradiciones. Ejemplo: “Los chinos han comido carne de perro durante milenios. Por lo tanto, es bueno comer carne de perro.”

  7. Falacia de novedad – consiste en en argumentar que algo es verdadero, o mejor, solamente por ser novedoso. Ejemplo: “La nueva versión de Windows siempre es mejor que las anteriores.”

  8. Falacia de popularidad – consiste en argumentar que algo es verdadero, o mejor, solamente porque mucha gente así lo cree. Ejemplo: “Justin Bieber es un gran músico; decenas de millones de fans no pueden estar equivocados.”

  9. Falacia de correlación y causalidad – consiste en argumentar que la correlación de dos variables implica que una causa la otra. Ejemplo: “Siempre que las ventas de helados aumentan, las muertes por ahogamiento aumentan. Por lo tanto, el consumo de helado propicia los ahogamientos.”

  10. Falacia del jugador – consiste en argumentar que si algo ha pasado más frecuentemente de lo normal en un periodo de tiempo, entonces ocurrirá menos frecuentemente en el futuro (mediante un “balance natural”). Ejemplo: “Los dados ya han caído en 6 muchas veces. Por lo tanto, es menos probable que caigan en 6 en el próximo tiro.”

Actualmente, particularmente a través de Internet, estamos constantemente expuestos a leer o escuchar argumentaciones falaces para convencernos de una u otra postura. Ejemplificaré algunas de estas argumentaciones relacionadas con un debate actual: la legalización de la adopción de niños por parejas del mismo sexo.

La primera argumentación es la del joven vietnamita Benoit Talleu, quien es miembro de la Asociación para Niños Adoptados. El siguiente es un fragmento del discurso que pronunció en la Marcha por la Familia organizada el 13 de enero de 2013 en París (el discurso completo puede leerse aquí):

Estoy en la lucha contra el “matrimonio para todos”, junto con la Asociación para Niños Adoptados, porque estoy harto de escuchar que muchos hablan de la adopción, como si lo más importante no fuéramos los adoptados.

Si preguntas a los adoptados qué quieren, ellos solo tienen una respuesta: ¡un papá y una mamá! “Papi y mami” son palabras que un huérfano conoce y cuando es adoptado, sueña con usar esas palabras. Los niños en adopción sueñan con sus futuros padres. Los imaginan. Desde lo más profundo de su ser, ellos esperan a papá y mamá. ¡Y son esos niños los que deben ser escuchados!

En este extracto encontramos al menos dos falacias:

  • Falacia de tradición: la práctica común en la actualidad es enseñarle a los niños pequeños a decir “papi” y “mami”, lo que explica que sean de las primeras palabras que conocen. Sin embargo, esto no implica nada sobre las ventajas de tener padres adoptivos de diferentes sexos.
  • Falacia de autoridad: se pretende establecer a los niños huérfanos como una figura de autoridad con la frase “!Y son esos niños los que deben ser escuchados!”. Pero esta autoridad es dudosa: ¿será posible que los niños sean expertos y puedan analizar las implicaciones legales, sociales, éticas y psicológicas relacionadas con este debate? Es claro que el bienestar de los niños es un factor clave en esta discusión, pero eso no los convierte en una figura de autoridad.

En el discurso completo también podemos encontrar falacias de emociónde repetición y llamados a la naturaleza (“algo es bueno solamente por ser natural”).

La segunda argumentación está relacionada con la canadiense Dawn Stefanowicz, quien escribió un libro sobre su niñez al cuidado de un padre homosexual con “depresión, problemas de control, estallidos de rabia, tendencias suicidas y compulsión sexual.” Esta desafortunada historia se ha usado para construir un argumento (que puede leerse aquí) en contra de la adopción por parejas del mismo sexo; la esencia del razonamiento es: “la historia de Stefanowicz es terrible. Por lo tanto, no debe legalizarse la adopción por parejas del mismo sexo.” Las falacias que pueden identificarse en este caso son:

  • Generalización apresurada: el argumento concluye algo que afecta a toda la población de de parejas del mismo sexo sólo a partir de un ejemplo particular.
  • Falacia de emoción: el argumento intenta convencer manipulando los sentimientos del lector mediante la descripción del sufrimiento de Stefanowicz.
  • Falacia anecdótica: el argumento intenta provocar una generalización apresurada al examinar un ejemplo detalladamente.

No caeré en la doble falacia de concluir que, como las argumentaciones anteriores son falaces, entonces la adopción de niños por parejas del mismo sexo debe ser legalizada. Para llegar a una conclusión así en este post necesitaría antes construir una argumentación muy cuidadosa; este no es mi objetivo ahora. La idea de este post es simplemente ilustrar y advertir sobre las numerosas argumentaciones defectuosas y falaces que intentan manipular nuestra opinión sobre diversos temas en los medios de comunicación.

Sobre los Números Trierniones

A finales de 2011, Juan Alfredo Morales del Río, un profesor del Centro Universitario de la Ciénega de la Universidad de Guadalajara, publicó en la revista Estudios de la Ciénega (Año 12, Num. 23) el artículo “Los números trierniones“, en el cual supuestamente descubría un conjunto de números que generalizan a los números complejos. A pesar de que el artículo contiene errores serios, carece de rigor matemático, y, al final de cuentas, no descubre nada, varios periódicos nacionales presentaron la noticia. En un artículo de El Universal puede leerse:

Juan Alfredo Morales, investigador del Departamento de Ciencias Tecnológicas del Centro Universitario de la Ciénega (CUCiénega) de la UdeG, oficializó hoy su descubrimiento sobre una nueva serie de números denominada trierniones. En rueda de prensa, manifestó que caen en el campo de los hipercomplejos, compuestos de tres partes: una real y dos imaginarias, que tendrán múltiples aplicaciones, sobre todo en proyectos de inteligencia artificial. Dijo que su hallazgo rompe paradigmas matemáticos, sobre todo con los tradicionales números complejos…

Varios teoremas matemáticos demuestran que un conjunto con las propiedades descritas por Morales del Río no puede existir, lo que significa que no hay esperanza de subsanar la idea de su artículo. Afortunadamente, la comunidad matemática reaccionó rápidamente para desmentir la noticia en las redes sociales; notablemente, los reconocidos matemáticos Adolfo Sánchez Valenzuela, José Antonio de la Peña y Juan Antonio Pérez, explicaron en detalle (aquí, aquí y acá, respectivamente) las razones por las cuales los argumentos de Morales del Río son incorrectos y no aportan nada valioso.

Como dato curioso, quiero destacar el siguiente párrafo de la columna de Juan Antonio Pérez publicada en el Sol de Zacatecas:

Algunos otros internautas en sus comentarios, se lanzaron a la yugular de Morales, aludiendo como argumento en contra de sus trierniones el Teorema Fundamental del Álgebra, resultado que hace afirmaciones acerca, exclusivamente de los números complejos, y nada asevera acerca de la existencia o no de otros sistemas algebraicos. Ignorancias una y otra.

Al ser yo uno de los internautas que argumentó en las redes sociales la inexistencia de los trierniones con el Teorema Fundamental del Álgebra, decidí escribirle a Juan Antonio Pérez para profundizar mi argumento. Amablemente, reconoció el error en su siguiente columna:

En la colaboración de referencia, señalo como un argumento impropio el Teorema Fundamental del Álgebra para justificar la inexistencia de los llevados y traídos trierniones. Sirva este espacio para agradecer al matemático mexicano Alonso Castillo Ramírez, quien tuvo la amabilidad de escribir un correo electrónico desde el servido del Imperial College de Londres, señalando básicamente, que una interpretación del teorema referido, es que el campo de los números complejos no admite extensiones algebraicas propias. Como señala Alonso Castillo, de las propiedades que Juan Alfredo Morales confiere a los trierniones, se sigue que este sistema sería un campo que contiene propiamente a los complejos, lo que contradice el resultado clásico.

¿Cómo hubiera sido posible evitar la tremenda difusión de los números trierniones en los periódicos nacionales? ¿Cómo podrían, los ingenuos periodistas, darse cuenta que el resultado de Morales del Río es matemáticamente imposible? A continuación presento algunos puntos que pueden ayudar a identificar artículos científicos falaces:

1. El autor usa técnicas elementales para resolver un problema cuya solución es revolucionaria. Las soluciones recientes de grandes problemas matemáticos (como el último teorema de Fermat y la conjetura de Poincaré) son extremadamente complejas y sutiles. En general, si un problema importante tiene una solución elemental, es muy improbable que nadie lo haya resuelto antes, a menos que esta solución surja de analizar el problema desde una perspectiva totalmente innovadora.

2. El artículo está lleno de ejemplos triviales. Los artículos de investigación están dirigidos a lectores expertos, por lo que la inclusión de ejemplos repetitivos y triviales está fuera de lugar. En el artículo de los números trierniones encontramos muchos ejemplos que parecen diseñados imitando a un libro de texto de licenciatura.

3. La bibliografía que usa el autor consiste en libros de texto básicos y no en artículos de investigación. Por ejemplo, la bibliografía del artículo de los números trierniones consiste en libros de variable compleja de nivel licenciatura y libros de divulgación sobre historia de las matemáticas.

4. El autor afirma que su descubrimiento es extraordinario, pero su artículo no está publicado en una revista científica de prestigio internacional. Tal vez este sea el punto más importante, sobre todo para autores que no son reconocidos expertos. En la base de datos de SCImago puede consultarse una clasificación de revistas científicas (journals) de acuerdo a su prestigio, factor de impacto y área del conocimiento (además, la base de datos incluye una lista interesante sobre la cantidad de artículos científicos producidos en cada país). Algunos de los journals más importantes en matemáticas son Annals of Mathematics, Inventiones Mathematicae y el Journal of the American Mathematical Society; es muy difícil publicar en cualquiera de estas revistas porque cada artículo, además de que debe contener resultados muy relevantes para su área, es sometido a una minuciosa revisión.

Incluso si los periodistas no hubieran tenido acceso al artículo de Morales del Río, algunas preguntas básicas durante la rueda de prensa serían suficientes para sospechar de su rigor (por ejemplo: ¿dónde está publicado el resultado? ¿Qué técnicas nuevas se usan? ¿En qué trabajos de investigación previos se basó?). Morales del Río dijo tener el respaldo de matemáticos del Centro de Investigaciones en Matemáticas (CIMAT), lo cual resultó ser falso. ¿Por qué ninguno de los periodistas se tomó la molestia de verificar esto antes de publicar la noticia? En países donde la divulgación científica se toma más en serio, los periodistas de la sección de ciencias no están ajenos al mundo académico y, por lo tanto, es más difícil que resultados falaces sean difundidos.

Al igual que en mi post anterior, historias como esta no deben llevarnos a hacer generalizaciones apresuradas sobre la calidad de los científicos en México. Podemos encontrar muchos ejemplos opuestos en la misma Universidad de Guadalajara; por mencionar uno reciente, el físico Andrei Klimov del Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingenierías fue reconocido hace unos meses con la prestigiosa medalla Marcos Moshinsky por sus investigaciones en óptica cuántica.