Números místicos y un video de Vsauce

Recientemente, el popular canal de YouTube Vsauce publicó un video (Fixed Points, a partir del minuto 12:32) donde se describe el siguiente fenómeno:

Piensa en cualquier número. Escríbelo en inglés con letras, y cuenta cuántas letras hay. Repite el proceso para el número que obtuviste al contar las letras. Después de varias repeticiones del proceso, inevitablemente e independientemente del número inicial, llegarás al número 4.

Veamos algunos ejemplos.

  1. Empecemos con 11. Escribimos “ELEVEN”, el cual tiene 6 letras. Escribimos “SIX”, el cual tiene 3 letras. Escribimos “THREE”, el cual tiene 5 letras. Escribimos “FIVE”, el cual tiene 4 letras.
  2. Probemos con 25. Escribimos “TWENTY-FIVE”, el cual tiene 10 letras. Escribimos “TEN”, el cual tiene 3 letras. Escribimos “THREE”, el cual tiene 5 letras. Escribimos “FIVE”, el cual tiene 4 letras.
  3.   Probemos ahora con 798. Escribimos “SEVEN HUNDRED AND NINETY-EIGHT”, el cual tiene 26 letras. Escribimos “TWENTY-SIX”, el cual tiene 9 letras. Escribimos “NINE”, el cual tiene 4 letras.

¡Intenta algunos ejemplos por ti mismo!

Probablemente, algún grupo esotérico ha usado este fenómeno para atribuirle alguna importancia mística al número 4. Al igual que en el video de Vsauce, nosotros lo analizaremos con matemáticas, usando el concepto al que hace referencia el nombre de este blog.

El concepto de “idempotencia” surge en el contexto de las operaciones matemáticas, las cuales son funciones con uno o más valores de entrada que producen un valor de salida (el cual debe ser del mismo tipo que los valores de entrada). Aquí algunos ejemplos importantes de operaciones binarias (que toman dos valores de entrada):

  1. La suma, la resta y la multiplicación de números.
  2. La suma y multiplicación de matrices.
  3. La composición de funciones.
  4. La unión y la intersección de conjuntos.
  5. Las operaciones lógicas “y”, “o” y  “no”.

La palabra “idempotencia” viene del latín y significa “misma potencia”.

Definición de idempotente: Sea ★ una operación binaria definida en una clase de objetos matemáticos X (ej. números, matrices, funciones, etc). Un elemento x de X es idempotente con respecto a ★ si

x★ x = x.

Representamos como xn al elemento x operado consigo mismo n veces. Entonces, si x es idempotente, deducimos que xn = x (el logo de este blog), para cualquier número n > 0.

Veamos algunos ejemplos de elementos idempotentes con respecto a distintas operaciones.

  1. El único número idempotente con respecto a la suma es 0 (porque 0+0=0).
  2. Los únicos números idempotentes con respecto a la multiplicación son 0 y 1 (porque 0×0=0 y 1×1=1).
  3. Toda función constante es idempotente con respecto a la composición de funciones.
  4. Todos los conjuntos son idempotentes con respecto a la unión y la intersección (porque AA=A y A∩A=A).

La noción de idempotencia tiene una gran importancia en álgebra abstracta y ciencias computacionales, porque nos ayuda a identificar elementos que tienen un comportamiento especial respecto a una operación.

Ahora regresemos al fenómeno presentado por Vsauce. Consideremos una operación unaria (que tiene una sola entrada) definida sobre números, la cual denotaremos por el símbolo ★. Ésta es la regla que define a la operación:

★(n) = Número de letras que hay al escribir n en inglés.

Por ejemplo,

★(1) = Número de letras en “ONE” = 3,

★(4) = Número de letras en “FOUR” = 4,

★(12) = Número de letras en “TWELVE” = 6.

 Después de pensar un poco en esta operación, nos damos cuenta que 4 es idempotente

★…★ (4) = ★(4) = 4,

y que además es el único idempotente con respecto a .

Los idempotentes con respecto a operaciones unarias también son llamados puntos fijos. Que 4 es el número al que se llega inevitablemente después de hacer la operación varias veces está íntimamente relacionado con el hecho de que 4 es un idempotente/punto fijo. Una explicación de este fenómeno (tomada de este video) es la siguiente:

Cualquier número N mayor o igual que 5 tiene menos de N letras al escribirlo en inglés. Esto implica que hacer la operación siempre nos llevará a números pequeños (menores o iguales que 4). Por lo tanto, sólo es necesario analizar el comportamiento de en estos números pequeños. En el siguiente diagrama, dibujamos una flecha del número n al número m si ★(n) = m. 

english

Como vemos, el diagrama siempre nos lleva al número 4.

El fenómeno de siempre llegar al 4 no funciona en español. Consideremos la operación

☆(n) = Número de letras que hay al escribir n en español.

En este caso, 5 es el único idempotente de la operación,

☆(5) = Número de letras en “CINCO” = 5,

así que sería razonable pensar que al repetir la operación ☆ varias veces siempre llegaremos al 5. Sin embargo, el diagrama que describe el comportamiento de ☆ para números pequeños es el siguiente:

spanish

Como podemos ver, este diagrama no nos lleva al 5, ni al 4, sino que hay un ciclo infinito que oscila entre los números 4 y 6.

Sobre los autómatas celulares

Los autómatas celulares son modelos matemáticos que han tenido gran relevancia en numerosas áreas de la ciencia. Se tratan de modelos discretos en el sentido de que el espacio donde existen no varía continuamente: sus componentes están separados y son distintos entre sí. Su objetivo principal es capturar las propiedades fundamentales de algunos fenómenos del mundo físico: sus interacciones son locales y homogéneas en todo el espacio.

Inicialmente, los autómatas celulares fueron estudiados por John von Neumann, uno de los padres de las computadoras digitales, en un intento por diseñar sistemas artificiales autorreplicables. La idea de von Neumann estuvo motivada por el propósito de construir robots que pudieran copiarse a sí mismos.

Informalmente, la definición matemática de autómata celular es la siguiente.

Supongamos que G es una cuadrícula infinita en n dimensiones y que A es un conjunto de colores, o estados. A cada elemento de la cuadrícula lo llamamos una célula. Una configuración sobre G y A es una coloración de usando los colores de A. Por ejemplo, una configuración sobre la cuadrícula bidimensional y A = {rojo, verde, azul} es:

infinite grid colored 1

Una vez que fijamos la cuadrícula G y el conjunto A de colores/estados, denotamos como AG al conjunto de todas las configuraciones posibles sobre G y A. Un autómata celular es una función F : AG → AG  que satisface la siguiente propiedad:

⋆ Para cualquier configuración c, el color de cualquier célula en F(c) está establecido por una regla fija que sólo depende de los colores de una vecindad finita de la célula.

Esta propiedad es la que determina el comportamiento local y homogéneo de los autómatas celulares.

Algunos de los ejemplos más importantes de autómatas celulares son la Regla 110 y el Juego de la Vida de John H. Conway (explicado en este video en español por Eduardo Sáenz de Cabezón, y en este otro en inglés por el mismo Conway).

Los autómatas celulares tienen muchas conexiones interesantes con otras áreas de la ciencia. Aquí una lista de cinco de estas conexiones:


1. Sistemas dinámicos: los autómatas celulares han sido extensamente investigados como sistemas dinámicos discretos, donde el sistema evoluciona al iterar la función F : AG → AG. Por ejemplo, la siguiente animación ilustra la evolución de una configuración al iterar el Juego de la Vida:

Game_of_life_pulsar

Los puntos fijos, la periodicidad y la estabilidad de estas órbitas han sido temas centrales en estas investigaciones.


2. Física digital: algunos científicos han propuesto que las leyes físicas del universo podrían comportarse como un autómata celular. Esto podría resultar razonable en un modelo discreto del universo, ya que se cree que las mismas leyes físicas se aplican en cualquier punto del universo (excepto en las singularidades de los agujeros negros) y que estas leyes sólo dependen de una vecindad finita del punto. En esta plática de Ted, Stephen Wolfram habla sobre su exploración del universo computacional de los autómatas con la esperanza de encontrar un modelo del universo físico.


3. Teoría de la computación: algunos autómatas celulares, como la Regla 110 y el Juego de la Vida, pueden simular cualquier máquina de Turing. De acuerdo con la tesis de Church-Turing, esto significa que estos autómatas celulares tienen la capacidad de hacer los mismos cálculos que cualquier computadora programable. Este video muestra cómo es posible implementar una máquina de Turing universal usando el Juego de la Vida.


4. Teoría de grupos: la cuadrícula G de un autómata celular puede reemplazarse por cualquier grupo; esto es, por cualquier conjunto equipado con una operación binaria asociativa, con identidad y con inversos. Esta generalización proporciona conexiones muy interesantes entre la teoría de autómatas celulares y la teoría de grupos. Por ejemplo, existe una caracterización en términos de autómatas celulares de los grupos amenables, los cuales, coincidentemente, también fueron definidos por John von Neumann pero en un contexto totalmente diferente: surgieron en el estudio de descomposiciones paradójicas de grupos, al estilo del Teorema de Banach-Tarski.


5. Biología y química: los autómatas celulares pueden simular diversos procesos biológicos y químicos que involucran interacciones entre neuronas, células y moléculas. Un ejemplo famoso es el de las configuraciones producidas por la Regla 30, descubierta por Stephen Wolfram, ya que son muy similares a los patrones encontrados en las conchas de algunos caracoles.