Números místicos y un video de Vsauce

Recientemente, el popular canal de YouTube Vsauce publicó un video (Fixed Points, a partir del minuto 12:32) donde se describe el siguiente fenómeno:

Piensa en cualquier número. Escríbelo en inglés con letras, y cuenta cuántas letras hay. Repite el proceso para el número que obtuviste al contar las letras. Después de varias repeticiones del proceso, inevitablemente e independientemente del número inicial, llegarás al número 4.

Veamos algunos ejemplos.

  1. Empecemos con 11. Escribimos “ELEVEN”, el cual tiene 6 letras. Escribimos “SIX”, el cual tiene 3 letras. Escribimos “THREE”, el cual tiene 5 letras. Escribimos “FIVE”, el cual tiene 4 letras.
  2. Probemos con 25. Escribimos “TWENTY-FIVE”, el cual tiene 10 letras. Escribimos “TEN”, el cual tiene 3 letras. Escribimos “THREE”, el cual tiene 5 letras. Escribimos “FIVE”, el cual tiene 4 letras.
  3.   Probemos ahora con 798. Escribimos “SEVEN HUNDRED AND NINETY-EIGHT”, el cual tiene 26 letras. Escribimos “TWENTY-SIX”, el cual tiene 9 letras. Escribimos “NINE”, el cual tiene 4 letras.

¡Intenta algunos ejemplos por ti mismo!

Probablemente, algún grupo esotérico ha usado este fenómeno para atribuirle alguna importancia mística al número 4. Al igual que en el video de Vsauce, nosotros lo analizaremos con matemáticas, usando el concepto al que hace referencia el nombre de este blog.

El concepto de “idempotencia” surge en el contexto de las operaciones matemáticas, las cuales son funciones con uno o más valores de entrada que producen un valor de salida (el cual debe ser del mismo tipo que los valores de entrada). Aquí algunos ejemplos importantes de operaciones binarias (que toman dos valores de entrada):

  1. La suma, la resta y la multiplicación de números.
  2. La suma y multiplicación de matrices.
  3. La composición de funciones.
  4. La unión y la intersección de conjuntos.
  5. Las operaciones lógicas “y”, “o” y  “no”.

La palabra “idempotencia” viene del latín y significa “misma potencia”.

Definición de idempotente: Sea ★ una operación binaria definida en una clase de objetos matemáticos X (ej. números, matrices, funciones, etc). Un elemento x de X es idempotente con respecto a ★ si

x★ x = x.

Representamos como xn al elemento x operado consigo mismo n veces. Entonces, si x es idempotente, deducimos que xn = x (el logo de este blog), para cualquier número n > 0.

Veamos algunos ejemplos de elementos idempotentes con respecto a distintas operaciones.

  1. El único número idempotente con respecto a la suma es 0 (porque 0+0=0).
  2. Los únicos números idempotentes con respecto a la multiplicación son 0 y 1 (porque 0×0=0 y 1×1=1).
  3. Toda función constante es idempotente con respecto a la composición de funciones.
  4. Todos los conjuntos son idempotentes con respecto a la unión y la intersección (porque AA=A y A∩A=A).

La noción de idempotencia tiene una gran importancia en álgebra abstracta y ciencias computacionales, porque nos ayuda a identificar elementos que tienen un comportamiento especial respecto a una operación.

Ahora regresemos al fenómeno presentado por Vsauce. Consideremos una operación unaria (que tiene una sola entrada) definida sobre números, la cual denotaremos por el símbolo ★. Ésta es la regla que define a la operación:

★(n) = Número de letras que hay al escribir n en inglés.

Por ejemplo,

★(1) = Número de letras en “ONE” = 3,

★(4) = Número de letras en “FOUR” = 4,

★(12) = Número de letras en “TWELVE” = 6.

 Después de pensar un poco en esta operación, nos damos cuenta que 4 es idempotente

★…★ (4) = ★(4) = 4,

y que además es el único idempotente con respecto a .

Los idempotentes con respecto a operaciones unarias también son llamados puntos fijos. Que 4 es el número al que se llega inevitablemente después de hacer la operación varias veces está íntimamente relacionado con el hecho de que 4 es un idempotente/punto fijo. Una explicación de este fenómeno (tomada de este video) es la siguiente:

Cualquier número N mayor o igual que 5 tiene menos de N letras al escribirlo en inglés. Esto implica que hacer la operación siempre nos llevará a números pequeños (menores o iguales que 4). Por lo tanto, sólo es necesario analizar el comportamiento de en estos números pequeños. En el siguiente diagrama, dibujamos una flecha del número n al número m si ★(n) = m. 

english

Como vemos, el diagrama siempre nos lleva al número 4.

El fenómeno de siempre llegar al 4 no funciona en español. Consideremos la operación

☆(n) = Número de letras que hay al escribir n en español.

En este caso, 5 es el único idempotente de la operación,

☆(5) = Número de letras en “CINCO” = 5,

así que sería razonable pensar que al repetir la operación ☆ varias veces siempre llegaremos al 5. Sin embargo, el diagrama que describe el comportamiento de ☆ para números pequeños es el siguiente:

spanish

Como podemos ver, este diagrama no nos lleva al 5, ni al 4, sino que hay un ciclo infinito que oscila entre los números 4 y 6.

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